Konsekvent prissetting av FX Options.1 Konsekvent prising av FX-alternativer Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milano I dagens markeder er opsjoner med ulike streik eller forfall vanligvis priset med forskjellige underforståtte volatiliteter. Dette stiliserte faktum, som ofte kalles smile effekt , kan innkvarteres ved å benytte seg av spesifikke modeller enten for prising av eksotiske derivater eller for utledning av underforståtte volatiliteter for ikke-noterte streik eller forfall. Den tidligere oppgaven oppnås vanligvis ved å innføre alternativ dynamikk for den underliggende aktivprisen, mens sistnevnte ofte håndteres med midler av statiske tilpasninger eller interpolasjoner I denne artikkelen tar vi oss av dette sistnevnte spørsmålet og analyserer en mulig løsning i et valutamarked FX-opsjonsmarked I et slikt marked er det faktisk bare tre aktive anførselstegn for hver markedsmognad, reversering og vega-vektet sommerfugl, og presenterer oss dermed problemet med en konsekvent bestemmelse Fakturering av de andre implisitte volatiliteter FX meglere og markeds beslutningstakere adresserer vanligvis dette problemet ved å bruke en empirisk prosedyre, også kalt Vanna-Volga VV, for å konstruere hele smilet for en gitt modenhet. Volatilitetsnotater blir deretter gitt i forhold til alternativet s, for varierer fra de 5 til 5-anropet I det følgende vil vi se gjennom denne markedsprosedyren for en gitt valuta Spesielt vil vi utlede lukkede formler for å gjøre konstruksjonen mer eksplisitt Vi vil da teste robustheten i en statisk følelse av det resulterende smilet, idet de tre innledende streik - og volatilitetsparametrene til slutt gir samme underforståtte volatilitetskurve. Vi vil også vise at samme prosedyre som gjelder for Europeanstyle-krav, er i samsvar med statisk replikasjonsresultater og betrakt som et eksempel , det praktiske tilfellet av et kvanto europeisk alternativ Vi vil endelig bevise at markedsprosedyren også kan begrunnes dynamisk, ved å definere en sikring strategi som er lokalt replikerende og selvfinansierende 2 En kort beskrivelse av valutamarkedet I valutamarkedet er volatilitetsmatrisen bygget i henhold til den klare Delta-regelen. Den underliggende forutsetningen er at alternativene blir priset avhengig av Delta, slik at Når den underliggende eiendomsprisen beveger seg og Delta i et alternativ endres tilsvarende, må en annen underforstått volatilitet kobles til prissettingsformelen 1.2. FX-opsjonsmarkedet er svært likvide, opp til relativt lange daterte utløp 2 år, i hvert fall for EUR USD-valutakursen At-the-money ATM-volatiliteten er lett tilgjengelig, og risikoreduksjonen RR for 25 anrop og sette og vega-vektet sommerfugl VWB med 25 vinger er også ofte handlet 1 Fra disse dataene kan man enkelt trekke tre grunnleggende implisitte volatiliteter, hvorfra man deretter kan bygge hele smilet for området som går fra en 5 til en 5 samtale i henhold til metoden som vi skal skissere nedenfor. Vi angir ved S t verdien av en gitt utveksling rate på tid t og utnytte konstante innenlandske og utenlandske risikofrie priser, som vil bli betegnet henholdsvis med rd og rf. Vi vurderer deretter en markedsløpstid T og definerer tilhørende anførselstegn i følgende ATM-volatiliteten sitert i valutamarkedet er den for en strekk, hvis streik for hvert gitt utløp er valgt slik at en put og en samtale har det samme, men med forskjellige tegn er det ikke nødvendig med hekling når man handler denne linjen. Ved AT M er ATM-volatiliteten for utløpet T, ATM-streiken K AT M må da tilfredsstille ln S e rf TK AT M rdrf 2 AT MT e rf T ln SK AT M rdrf 2 AT MT AT MT AT MT hvor den kumulative standard normalfordelingsfunksjonen utsettes Forsinket algebra fører til K AT MS e rd rf 2 AT MT 1 RR er en typisk struktur hvor man kjøper en samtale og selger et sett med en symmetrisk RR er sitert som forskjellen mellom de to implisitte volatilitetene, 25 c og 25 p for å koble til Black and Scholes formel for ring og sett henholdsvis Denotin G en slik pris, i volatilitetsvilkår, av RR, har vi 2 RR 25 c 25 p 2 VWB er bygget opp ved å selge en minibank og kjøpe 25 strenger For å være Vega-vektet må mengden av den tidligere være mindre enn mengden av sistnevnte, siden Vega av strengen er større enn Vega av strengen. Butterfly s pris i volatilitetsvilkår, VWB, defineres deretter av VWB 25 c 25 p 2 AT M 3 For gitt utløp T , kan de to implisitte volatilitetene 25 c og 25 p identifiseres umiddelbart ved å løse et lineært system. Vi oppnår 25 c AT MVWB RR 4 1 Vi slipper tegnet etter nivået i henhold til markedsjargongen. Derfor er et 25 anrop et anrop hvis Delta er 25 Analogt er et 25-sett en hvis Delta er A positiv RR betyr at anropet er begunstiget ved at dets underforståtte volatilitet er høyere enn den underforståtte volatiliteten av putten et negativt tall tilsier det motsatte 2,3 25 p AT MVWB 1 2 RR 5 De to streikene tilsvarer 25 puten og 25 samtaler kan avledes, akter er rettferdig algebra ved å huske deres respektive definisjoner For eksempel for 25 putter må vi ha det som umiddelbart fører til at e rf T ln S 5 prdrf 2 25 p T 25 25 p T 5 p S e 25 p T rdrf 2 25 p T 6 hvor 1 1 4 erf T og 1 er den inverse normalfordelingsfunksjonen På samme måte får man også 5 c S e 25 c T rdrf 2 25 c T 7 Vi understreker at for typiske markedsparametere og for løpetid på opptil to år, og 3 5 p K AT M 5 c I det følgende avsnittet vil vi forklare hvordan du bruker de grunnleggende implisitte volatilitetene og de tilhørende streikene, for å konsekvent utlede hele smilet for det oppgitte utløpet. T For dette formål skal vi jobbe med samme type alternativer, for eksempel samtaler, direkte i forhold til markedspriser i stedet for volatiliteter For å lette noteringen og forenkle fremtidige formler, vil vi angi de angitte streikene for den angitte modenhet T ved K i, 1, 2, 3, K 3, 4 og sett K De relaterte markedsopsjonsprisene, henholdsvis betegnet med C MKT, C MKT og C MKT K 3, er ass forpliktet til å tilfredsstille standard-arbitrageforholdene 3 VV-empiriske markedsprosedyre Vurder et europeisk anropsalternativ med modenhet T og streik K, hvis Black and Scholes-pris på tidspunktet t er betegnet med C BS t K, ln S t C BS t KS te rf K rd rf 1 2 2 ln S t K Rd rf 1 2 2 8 hvor T t, og er en gitt volatilitetsparameter Det er velkjent at i henhold til Black-Scholes 1973 BS-modellen, kan avtaleutbetalingen bli replikert med en dynamisk styringsstrategi, hvis initialverdier som er omfattende av bankkontodelen, samsvarer med opsjonsprisen 8 På ekte finansmarkeder er imidlertid volatilitet 3 For lange løpetider er det markedspraksis å vurdere valutakursen som ATM-streiken 4 og K 3 erstatter henholdsvis 5 p, K AT M og 5 c 3.4 er stokastiske og handelsmenn sikrer den tilknyttede risikoen ved å bygge Vega-nøytrale porteføljer. Med tanke på den spesifikke naturen på FX-opsjonsmarkedet, kan porteføljer også bygges slik at de samsvarer delvise derivater opp til den andre rekkefølgen, slik at b Vi har en perfekt sikring i et uendelig tidsintervall, se også avsnitt 9 nedenfor. Den empiriske prosedyren er basert på å utlede en slik sikringsportefølje for ovennevnte samtale med modenhet T og streik. K Nøyaktig, vi ønsker å finne tids - t vekt x 1 t K, x 2 t K og x 3 t K slik at den resulterende porteføljen av europeiske samtaler med forfall T og streik, og K 3, hevder prisvariasjonene av samtalen med forfall T og streik K, opp til den andre ordren i det underliggende og volatiliteten Forutsatt en - hetget stilling og gitt at i BS-verdenen porteføljer av vanilje-alternativer med samme modenhet som Vega-nøytral er også Gamma-nøytral, vektene x 1 t K , x 2 t K og x 3 t K kan bli funnet ved å pålegge at den replikerende porteføljen har samme Vega, dvegadvol volga og dvegadspot vanna som kallet med streik K, nemlig C BS t K 2 C BS t K 2 2 C BS S tt K BS C xit K t K ixit K 2 C BS 2 t K ixit K 2 C BS S tt K i 9 Betegnelse ved V t K tiden Vega av et europeisk alternativ med modenhet T og streik K, V t KC BS t KS teff d 1 t K d 1 t K ln S t K rd rf 2 xx 1 e 1 2 x2 2 1 og beregne andreordederivater vi kan bevise følgende 2 C BS V t K t K d 2 1 t K d 2 t K 2 C BS V t K t KS t S td 2 t K d 2 t K d 1 t K 4.5 Proposisjon 3 1 Systemet 9 innrømmer alltid en unik løsning som er gitt av x 1 t K x 2 t K x 3 t KV t K ln KKV t ln V t KV t V t KV t K 3 ln KK ln ln K ln K 11 Spesielt hvis KK j deretter xit K 1 for ij og null ellers Proof Se vedlegg 4 Den resulterende opsjonsprisen Vi kan nå gå videre til definisjonen av en opsjonspris som er i samsvar med markedsprisene på de grunnleggende alternativene Et smil-konsistent pris for anropet med streik K oppnås ved å legge til BS-prisen kostnaden ved å implementere ovennevnte sikringsstrategi til rådende markedspriser. I formler for CKC BS K x K K MKT K i C BS K 12 hvor notasjonen, avhengigheten av v alueringstid t blir deretter utelatt når null. 5 Den nye opsjonsprisen er således definert ved å legge til det flate smil BS pris Kostnadsforskjellen i sikringsporteføljen indusert av markedet impliserte volatiliteter med hensyn til konstant volatilitet Robusthet og konsistensresultater for opsjonen pris 12 er gitt nedenfor Når KK j har vi tydeligvis det CK j C MKT K j, siden xi K 1 for ij og null ellers Derfor definerer 12 ikke noe annet enn en regel for enten å interpolere eller ekstrapolere priser fra de tre alternativkriteriene C MKT, C MKT og C MKT K 3 En markedsforutsatt volatilitetskurve kan da bygges ved å invertere 12, for hver betraktet K, gjennom BS-formelen. Et eksempel på en slik kurve er vist i figur 1, hvor vi plottar implisitte volatiliteter både mot streik og mot satt Deltas Vi bruker følgende EUR USD-data per 1. juli 25 T 3m 94 365y, S 1 25, AT M 9 5, RR 5, VWB 13, som fører til 25 c 8 93, 5 c 9 5, 25 p 9 43, K ATM 5 p og 5 c Se også Tab les 1 og 2 5 Denne prisen avhenger av volatilitetsparameteren. I praksis er det typiske valget å angi AT M 5.6 Volatilitet Strike Put delta Figur 1 EUR USD Underforståtte volatiliteter tegnet både mot streik og mot Deltas, hvor de tre markedsbaserte sitatene er uthevet Alternativprisen CK, som en funksjon av streiken K, tilfredsstiller følgende noarbitrage betingelser i CC 2, ii lim KCKS e rf T og lim KCK iii lim dc KK dk e rdt og lim KK dc K dk Det andre og tredje egenskaper, som er trivielt tilfredsstillende av C BS K, følger av at for hver jeg, går både xi K og dx i K dK til null for K eller K For å unngå arbitrasjemuligheter bør opsjonsprisen CK også være en konveks funksjon av streiken K, dvs. 2 C d K for hver K Denne egenskapen, som ikke er sant i d generelt, 6 holder imidlertid for typiske markedsparametere, slik at 12 fører til priser som er arbitragefrie i praksis 5 En tilnærming for underforståtte volatiliteter Ovenstående definisjon av opsjon pris kombinert med vår analytiske formel 11 for vektene, tillater avledning av en rettferdig tilnærming for den underforståtte volatiliteten assosiert med 11 Dette er beskrevet i følgende Forslag 5 1 Den underforståtte volatiliteten k for det ovennevnte alternativ med pris CK er omtrent gitt av k 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K ln K 25 c 13 6 Man kan faktisk finne tilfeller hvor ulikheten er brutt for noe streik K 6.7 sant smil tilnærming 11 sant smil tilnærming Strike Put Delta Figur 2 EUR USD implisitte volatiliteter og deres tilnærminger, plottet både mot streik og mot Deltas Proof Se vedlegget Den underforståtte volatiliteten k kan dermed tilnærmet ved en lineær kombinasjon av de grunnleggende volatiliteter, med kombinatorer yi K som oppsummerer en som kjedelig men rettferdig algebra viser det er også lett å se at tilnærmingen er en kvadratisk funksjon av ln K, slik at man kan ty til en enkel parabolisk interpolering når logkoordinater er brukt En grafisk representasjon av godheten til tilnærmingen 13 er vist i figur 2, hvor vi bruker de samme EUR USD-dataene som for Figur 1 Tilnærmingen 13 er ekstremt nøyaktig innenfor intervallet, K 3 Vingene har imidlertid en tendens til å være overvurdert Faktisk, som den funksjonelle form kvadratiske i logstrike, er ikke-arbitrageforholdene som er avledet av Lee 24 for den asymptotiske verdien av implisitte volatiliteter, brutt her. Denne ulempen er adressert av en andre, mer presis tilnærming, som er asymptotisk konstant i ekstreme streiker Proposisjon 5 2 Den underforståtte volatiliteten k kan bedre tilnærmet som følger hvor k 2 K 2 d 1 K d 2 K 2 D 1 KD 2 K d 1 K d 2 KD 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K ln K 25 c 1 KD 2 K ln KK ln d 1 d 2 25 p 2 ln K ln K ln K d 1 K 3 d 2 K 3 25 c 2 7, 14 K d ln 1 d 2 ATM 2.8 115 sant smil tilnærming 115 sant smil tilnærming Strike Put Deltas Figur 3 EUR USD implisitte volatiliteter og deres tilnærminger, plottet både mot stri kes og mot Deltas og d 1 x ln S xrdrf 2 T, d 2 xd 1 x T, x T Bevis Se vedlegget Som vi kan se fra figur 3, er tilnærming 14 ekstremt nøyaktig også i vingene. Den eneste ulempen er at Det kan ikke defineres på grunn av tilstedeværelsen av en kvadratrotsperiode. Radikanten er imidlertid positiv i de fleste praktiske anvendelser. 6 Et første konsistensresultat for prisen. CK Vi oppgir nå to viktige konsistensresultater som holder for opsjonsprisen 11 og som gir ytterligere støtte til ovennevnte empiriske prosedyre. Det første resultatet er som følger. Man kan lure på hva som skjer hvis vi bruker vår kurvkonstruksjonsmetode når vi starter fra tre andre streiker hvis tilhørende priser faller sammen med de som kommer fra formel 12. Det er klart at vår fremgangsmåte skal være robust, vi vil at de to kurvene skal samsvare Faktisk, sett på et nytt sett med streik H, og betegner de tidligere vikene xi K av xi KK for å understreke avhengigheten av settet av innledende streik Analogt, xi KH wi ll angi vektene for streiken K som er avledet fra det nye settet av streik H Optieprisen for hver H i er antakelig lik den som kommer fra 12, dvs. CHH i CKH i C BS H ixj H i KCK j C BS K j 15 j 1 8.9 hvor superskriptene H og K markerer settet av streiker prissettingsprosedyren er basert på For en generisk streik K er alternativprisen knyttet til H definert, analogt med 12, ved CHKC BS K xj KHCHH J C BS H jj 1 Forslag 6 1 Anropsprisene basert på H sammenfall med de som er basert på K, nemlig for hver streik K, CHKCKK 16 Proof Se vedlegg 7 Et annet konsistensresultat for prisen CKA andre konsistensresultat som kan være bevist for opsjonsprisen 11 gjelder prising av derivater i europeisk stil og deres statiske replikasjon. I denne sammenheng anta at h er en reell funksjon som er definert på, er veloppdragen ved uendelig og er to ganger differensibel i form av fordelinger gitt det enkle kravet med utbetaling hs T til ti meg T, vi betegner V sin pris til tiden, når du tar hensyn til smilevirkningen Ved Carr og Madan 1998 har vi V e rdt h S e rf T hxxx dx Den samme resonnementet som ble vedtatt før konstruksjonen av den underforståtte volatilitetskurven kan brukes til den generelle utbetalingen hs T Vi kan således konstruere en portefølje av europeiske samtaler med modenhet T og streik, og K 3, slik at porteføljen har samme Vega, dvegadvol og dvegadspot som den givne avledningen Denoting by V BS kravet prisen under Black and Scholes 1973-modellen, oppnås dette ved å finne vekter xh 1, xh 2 og xh 3 slik at V BS 2 V BS 2 2 V BS S xhixhixhi C BS K i 2 C BS 2 K i 2 C BS SK Jeg som alltid eksisterer unik som allerede vist i Proposisjon 3 1 Vi kan da definere et nytt smil konsistent pris for vårt derivat som VV BS xi CK i C BS K i 17 9.10 Forslag 7 1 Kravsprisen som er i samsvar med opsjonsprisene C er lik kravsprisen som oppnås ved å justere sin Black and Schol es pris etter kostnadsforskjell i sikringsporteføljen ved bruk av markedspriser CK i stedet for konstante volatilitetspriser C BS K i I formler VV Bevis Se vedlegget Dette forslaget gir et klart konsistensresultat for europeiske stil enkle påstander. Faktisk, hvis vi beregner sikringsporteføljen for kravet under flatt volatilitet og legger til kravsprisen beregnet med Black and Scholes-modellen kostnadsforskjellen i markedsprisen for sikringsporteføljen minus konstant volatilitetspris, henter vi nettopp kravprisen som oppnådd gjennom risiko - nøytral tetthet implisitt av anropsalternativprisene som er i overensstemmelse med markedets smil. Dette nyttige resultatet vil bli anvendt i det følgende avsnitt til det spesifikke tilfellet av et kvanto-alternativ. 8 Et eksempel smil konsistent prising av et kvanto-alternativ Et kvanto-alternativ er et derivat som betaler ut på forfall T beløpet s TX i utenlandsk valuta, som tilsvarer s TXST i innenlandsk valuta, hvor 1 for en samtale og 1 for et sett Standard argumenter for statisk replikasjon innebærer at kvantesamtaler og satser kan skrives i form av vanlig vaniljesamtale og sette priser som følger: QCall T, X 2 X QPut T, X XP X 2 CK dk XC XXPK dk 18 hvor PX er satsen prisen med streik X og modenhet T, det vil si PXCXS e rf TX e rdt Vi verifiserer nå med ekte markedsdata at kvanteprisene 18 svarer til prisene 17 som kommer fra sikringsargumenter. I dette tilfellet bruker vi markedsdataene som 1 juli, 25, som rapportert i tabell 1 og 2 Våre beregninger er rapportert i tabell 3, hvor kvanteprisepriser beregnet med sikringsargumenter, dvs. med formel 17, blir sammenlignet med de statiske replikasjonsprisene 18 som oppnås ved bruk av 5 og 3 trinn og henholdsvis et konstant streiktrinn på 15 og 25 7 Prosentandelen forskjellene mellom disse prisene vises også. 7 Integrallene i 18 kan selvfølgelig beregnes med mer effektive prosedyrer. Her vil vi imidlertid bare vise numerisk korrekthet av vår pri cing prosedyre 1.11 Utløp USD Diskonteringsfaktor EUR Diskonteringsfaktor 3m 3 1 y 3 7 Tabell 1 Markedsdata per 1. juli 25 Delta 3M 1Y 25 Sett ATM 25 Anropstabell 2 Slår og volatiliteter tilsvarende de tre viktigste Delta s, i juli 1, 25 Formålet med dette eksemplet er også å vise at kvantepriseprisene kan utledes, konsekvent med markedets smil, ved å bruke bare tre europeiske alternativer og ikke et strekkfrekvens, som antydet av 18 9 Robusthet i prisprosessen Vi konkludere artikkelen ved å motivere den empiriske prissettingsprosessen også dynamisk. Den tilsynelatende vilkårlig tilnærming til nullering av partielle derivater av BS-priser opp til andre ordre kan begrunnes av at BS-modellen fortsatt er et referansepunkt i verdsettelsen av en opsjonsbok Det er flere grunner for dette faktum, bortsett fra den åpenbare historiske en, jeg har enkel implementering ii, klar og intuitiv betydning av modellparametrene iii lett tilgjengelige følsomheter og iv mulighet for eksplisitte formler for de fleste utbetalinger Ingen annen modell har alle disse funksjonene samtidig 8 Det er egentlig ikke så rart å drive en FX-opsjonsbok ved å revaluere og sikre den i henhold til en flat-smile BS-modell, men ATM-volatiliteten oppdateres kontinuerlig til handelsmarkedet 9 Vi viser nå at hvis europeiske opsjoner er alle verdsatt med den samme stokastiske implisitte volatiliteten, la oss si ATM-volatiliteten, vil verdivariasjonene i sikringsporteføljen lokalt spore de oppgitte samtalen. Til dette formål, vi vurderer en generisk tid t og antar Ito-lignende dynamikk for volatiliteten t Vi har dermed, av Ito s lemma, dc BS t KC BS t K dt C BS t K ds t C BS t K dtt SC BS t K ds 2 S 2 t 19 C BS t K d 2 2 t C BS t K ds tdt S 8 Et mulig unntak er usikkerparametermodellen til Brigo, Mercurio og Rapisarda 24 9 Kontinuerlig betyr vanligvis en daglig eller litt hyppigere oppdatering 11.12 Strike Expiry 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Sikringsargumenter Ring Put Statisk replikat ion 5 trinn Call Pct Diff Sett Pct Diff Statisk replikering 3 trinn Call Pct Diff Sett Pct Diff Tabell 3 Sammenligning av quanto-opsjonspriser oppnådd med formler 17 og 18 Forutsatt også en - hetged posisjon og at streikene K i er de avledet ved den første tid vi umiddelbart får dc BS t KC BS t K xit K dc BS t K det C BS t K 1 2 C BS t K 2 S 2 C BS t K 2 2 2 C BS t KS xit KC BS t K i dt txit KC BS t K idtxit K 2 C BS t K i S 2 xit K 2 C BS t K i 2 xit K 2 C BS t K i S ds t 2 dt 2 ds tdt Det andre, fjerde og femte semester i RHS av 2 er null ved definisjon av vektene xi, mens den tredje er null på grunn av relasjonskoblingsalternativene Gamma og Vega i BS-verdenen Av samme grunn og husker at hver opsjon er - drevet, har vi også 2 12.13 det at C BS t K t dc BS t K xit KC BS t K itrd C BS t K xit K dc BS t K ir C d BS t K xit KC BS t K i 21 xit KC BS t K i dt 22 Uttrykket i RHS i denne ligningen er kjent ved tid t Derfor har porteføljen gjort en lang posisjon i samtalen med streik K og tre korte stillinger i xit K samtaler med streik. K i er lokalt risikoløs ved tid t, fordi ingen stokastiske termer er involvert i differensialet. Som det er kjent, I BS-paradigmet er det lenge kallet med streik K og korte C BS S-aksjer av den underliggende eiendelen tilsvarer å holde en lokalt risikofri portefølje Når volatiliteten er stokastisk, og opsjoner ennå er verdsatt med BS-formelen, kan vi fortsatt ha et lokalt perfekt sikring, forutsatt at vi holder passende mengder tre forskjellige alternativer. Man kan lure på hvorfor vi trenger tre alternativer for å utelukke usikkerheten på grunn av en stokastisk volatilitet, og ikke bare en som typisk skjer når vi innfører en ytterligere endimensjonal kilden til tilfeldighet. grunnen er todelt Først bruker vi ikke en konsistent modell, men bare en verdsettelsesprosedyre. Ingen todimensjonal diffusjonstokastisk volatilitetsmodell kan produsere flate smiler for alle løpetider For det andre antar vi ikke bestemt dynamikk for underliggende og volatilitet, men bare generell diffusjon. De tre alternativene er faktisk også nødvendig for å utelukke modellrisikoen, siden vår sikringsstrategi er avledet uavhengig av den virkelige eiendelen og volatiliteten dynamikk under antagelsen om nei hopp 1 Konklusjoner Vi har beskrevet en markedse empirisk prosedyre for å konstruere implisitte volatilitetskurver i valutamarkedet. Vi har sett at smilkonstruksjonen fører til en prissettingsformel for evt. krav i europeisk stil. Vi har da vist konsistensresultater basert på statisk replikasjon og på sikringsargument Smile konstruksjonsprosedyren og tilhørende prissettingsformel er ganske generelle Faktisk, selv om de er utviklet for FX-opsjoner, kan de brukes i et hvilket som helst marked hvor tre volatilitetsnotater er tilgjengelige for en gitt løpetid Et siste, uløste problem angår verdsettelsen av eksotiske alternativer ved hjelp av en generalisering av empirisk prosedyre w Jeg har illustrert i denne artikkelen Dette er generelt et ganske komplisert problem å håndtere, og samtidig vurderer at dagens implisitte volatiliteter bare inneholder informasjon om marginale tettheter, som selvfølgelig ikke er tilstrekkelig til å verdsette banavhengige derivater. For eksotiske påstander, Ad hoc-prosedyrer er vanligvis ansatt 13.14 Barriereprispriser kan for eksempel oppnås ved å veie kostnadsforskjellen på replikeringsstrategien ved risiko-nøytralt sannsynlighet for ikke å krysse barrieren før modenhet. Ikke bare er slike tilpasninger vanskeligere å begrunne teoretisk enn de i vaniljesaken, men fra det praktiske synspunktet kan de til og med ha motsatt tegn i forhold til det som er underforstått i markedspriser Tillegg A bevisene Proof of Proposition 3 1 Skrive systemet 9 i form x 1 t KA x 2 t kB, x 3 t K rett fremad algebra fører til det V t V t V t K 3 S 2 d 2 t K 3 d 1 td 2 td 2 td 1 t K 3 d 2 t K 3 T d 1 td 2 td 2 t k 3 d 1 t 3 d 2 t K 3 d 2 td 2 td 1 td 2 td 1 td 2 td 2 t V t V t V t K 3 S 5 T 2 ln 23 som er strengt positivt siden K 3 Derfor innrømmer 9 en unik løsning og 11 følger fra Cramer s regel Proof of Proposition 5 1 Ved første rekkefølge har man CKC BS K xi KVK iki, som husker 11 og det faktum at 3 xikvki VK fører til CKC BS KVK yi KK i hvor 1 K ln KK ln y 2 K ln KK ln 3 K ln K ln K 14.15 Så følger 13 fra Taylor-utvidelsen CKC BS KVKK Proof of Proposition 5 2 I andre rekkefølge har man CKC BS K Analogt, slik at vi kan skrive xi KVK iki C BS 2 2 K i 2 CKC BS KVKKC BS KK 2 2 VKK xi KVK iki C BS KK 2 2, 2 C BS 2 K iki 2 Løsning av denne algebraiske andreordsligningen i k fører til 14 Proof of Proposition 6 1 Likestilling 16 holder om og bare hvis xj KHCHH j C BS H jj 1 xi KKCK i C BS K I Ved å bruke 15 og omarrangere vilkår kan venstre side skrives som xj KHCHH j C BS H jj 1 xj K H xi H j KCK I C BS K ij 1 xj KH xi H j KCK I C BS K ij 1 som tilsvarer høyre side av likestilling siden, for hver streik K og j 1, 2, 3, xi KK xj KH xi H j K 24 j 1 følgende fra en kjedelig, men rettferdig anvendelse av formel 11 for vekter 15.16 Proof of Proposition 7 1 For hver operatør L har vi LV BS L edt h S e rf T hh KC BS K dk h K LC BS K dk som etter definisjon av vektene xi K blir LV BS h K x K K K K K K D K H K X K K K K K K D K H K K D K L K K K K I UNIKEN av vektene xhi vi har dermed xhi Bytter til 17, får vi VV BS V BS V BS h K H K x K K DK, I 1, 2, 3 H K x K KK KK K C K K KK K I K BS K Vedlegg B Den underforståtte risikos nøytrale tettheten VV-prisen 12 er definert uten å innføre spesifikke forutsetninger om fordelingen av den underliggende eiendelen. Ukunnelig kunnskap om opsjonspriser for enhver mulig streik. bestemmer a unik risiko nøytral tetthet som er i overensstemmelse med dem Faktisk, 16,17 8 7 Vanna Volga BS Figur 4 Vanna-Volga risiko nøytral tetthet sammenlignet med den lognormale en kommer fra BS-modellen med ATM volatilitet ved det generelle resultatet av Breeden og Litzenberger 1978 , kan den risikos nøytrale tettheten p T av valutakursen ST oppnås ved å differensiere to ganger opsjonsprisen 12 p TK e rd T 2 CK erd T 2 C BS K erd T i 2 xi KC MKT K i C BS K i 25 Den første termen i RHS er den lognormale tettheten p BS T assosiert med den geometriske bruniske bevegelsen med drivhastighet rdrf og volatilitet. Den andre termen, som er avviket fra lognormalitet indusert av VV-smilet, er mer involvert og kan beregnes ved å differensiere to ganger veiene 11 Vi får 2 x 1 KK 2 2 x 3 KK 2 VK 2 TV ln 2 T d 1 K ln K 3 VK 2 TVK 3 2 T d 1 K ln d1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K K 2 K K 2 d 1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 1K KKK I KA-plott av den risikos nøytrale tettheten assosiert med 12 er vist i figur 4, hvor det er sammenlignet med den tilsvarende lognormale tettheten p BS T 17.18 Referanser 1 Black, F og Scholes, M 1973 Prissetting av opsjoner og selskapsforpliktelser Journal of Political Economy 81, 2 Breeden, DT og Litzenberger, 1978 1978 State Rates - Kontingentkrav Implikt i Alternativpriser Journal of Business 51, 3 Brigo, D Mercurio, F og Rapisarda, F 24 Smil på usikkerheten Risiko 17 5, 4 Carr, PP og Madan, DB 1998 Mot en teori om volatilitetshandel i volatilitet eds RA Jarrow Risikobøker 5 Lee, RW 24 Momentformelen for underforstått volatilitet ved ekstreme streiker Matematisk økonomi 14 3.Konsistent prising av FX Options. In dagens markeder er opsjoner med ulike streik eller forfall vanligvis priset med forskjellige underforståtte volatiliteter. Denne stiliserte faktoren , som vanligvis kalles asfsmileffekt, kan innkvarteres ved å benytte spesifikke modeller, enten for prising av eksotiske derivater eller for å utlede implisitte volatiliteter for ikke-noterte streik eller løpetid Den tidligere oppgaven oppnås vanligvis ved å innføre alternativ dynamikk for den underliggende eiendomsprisen, mens sistnevnte ofte håndteres ved hjelp av statiske tilpasninger eller interpolasjoner. I denne artikkelen omhandler vi sistnevnte problem og analyserer en mulig løsning i en utenlandsk valuta FX opsjonsmarkedet I et slikt marked er det faktisk bare tre aktive anførselstegn for hver markedsmognad, 0Delta straddle, risikoreduksjonen og vegavektet sommerfugl, og presenterer dermed problemet med en konsekvent bestemmelse av de andre underforståtte volatiliteter. FX meglere og markedsførere adresserer vanligvis dette problemet ved å bruke en empirisk prosedyre for å konstruere hele smilet for en gitt modenhet. Volatilitets sitater blir deretter gitt når det gjelder alternativet Delta, for områder fra 5Delta satt til 5Delta-samtalen. Følgende vil vi gjennomgå denne markedsprosedyren for en gitt valuta. Spesielt vil vi utlede lukkede formler for å gjengi sin konstruksjon mer eksplisitt Vi vil da teste robustheten i en statisk følelse av det resulterende smilet, idet de tre innledende par av streik og volatilitet til slutt gir samme underforståtte volatilitetskurve. Vi vil også vise at samme prosedyre som gjelder for Europeanstyle-krav er konsekvent med resultater for statisk replikasjon, og for eksempel vurdere det praktiske tilfellet av et kvanto europeisk alternativ. Vi vil endelig bevise at markedsprosedyren også kan begrunnes dynamisk, ved å definere en sikringsstrategi som er lokalt repliserende og selvfinansierende. Nøkkelord FX alternativ, smil, konsistepris, stokastisk volatilitet. JEL Klassifisering G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio og Mercurio, Fabio, Konsistent Prissetting av FX Alternativer Tilgjengelig på SSRN eller. Iason Ltd email. Consistent Pricing of FX Options. In De nåværende markedene, opsjoner med ulike streik eller forfall, blir vanligvis priset med forskjellige underforståtte volatiliteter. Dette stiliserte faktum som ofte kalles asfsmile-effekt, kan innkvarteres ved å benytte spesifikke modeller enten for prising av eksotiske derivater eller for å utlede implisitte volatiliteter for ikke-noterte streik eller forfall. Den tidligere oppgaven oppnås vanligvis ved å innføre alternativ dynamikk for den underliggende aktivprisen, mens sistnevnte ofte håndteres ved hjelp av statiske tilpasninger eller interpolasjoner. I denne artikkelen omhandler vi dette sistnevnte spørsmålet og analyserer en mulig løsning i et valutamarked FX-opsjonsmarked. I et slikt marked er det faktisk bare tre aktive anførselstegn for hver markedsmognad er 0Delta-strengen, risikovendingen og vegavektet sommerfugl, noe som gir oss et problem med en konsekvent bestemmelse av de andre implisitte volatiliteter. Faksmeglere og markedsførere adresserer vanligvis dette problemet ved å bruke en empirisk prosedyre for å konstruere hele smilet for en gitt modenhet Volatilitet sitater er da gitt i form av alternativet s Delta, for r anges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit We will then test the robustness in a static sense of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Keywords FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility. JEL Classification G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio and Mercurio, Fabio, Consistent Pricing of FX Options Availabl e at SSRN or. Iason Ltd email.
No comments:
Post a Comment